МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи N 3 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри систем автоматизованого проектування Протокол N 14 від 03.04.97 р. Львів 1999 МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ. Інструкція до лабораторної роботи N 3 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І., Чура І.І. – Вид-во Державного університету "Львівська політехніка", 1999. – 8 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн.наук, доц. Чура І.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск Ткаченко С.П., канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц. МЕТА РОБОТИ – ознайомлення із методами чисельного інтегрування функцій та їх практичним застосуванням. 2. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ 2.1. Загальний підхід до обчислення означених інтегралів Якщо для визначеної і неперервної на проміжку

функції f(x) відома первісна F(x), то означений інтеграл
можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца
, (1) де F'(x) = f(x). Проте в багатьох випадках обчислити означений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення означених інтегралів користуються чисельними методами. Чисельне інтегрування – це обчислення значення означеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходження числового значення означеного інтеграла з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), то формули для наближеного обчислення означеного інтеграла називаються квадратурними. Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можливість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції:
, (2) де
– коефіцієнти формули (дійсні числа);
– вузли формули. Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (2), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(x) з даного класу функцій. Величина
(3) називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули). 2.2. Квадратурні формули Ньютона-Котеса Квадратурні формули Ньютона-Котеса будуються шляхом заміни підінтегральної функції інтерполяційним поліномом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами. Частковими випадками квадратурних формул Ньютона-Котеса є: формули прямокутників:
; (4)
. (5) Тут (4) – формула "лівих" прямокутників, а (5) – "правих". формула трапецій:
6) формула Сімпсона:
(7) У формулах (4) – (7): h – крок; n – кількість інтервалів розбиття; а і в – відповідно ліва і права межі інтегрування;
– значення функції в i-му вузлі інтерполяції
2.3. Формула Чебишева Формула (3) може бути приведена до вигляду:
(8) заміною змінних
. При виведенні формули Чебишева використовуються такі умови: коефіцієнти
рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для усіх поліномів до степеня n включно. Розміщення вузлів визначається, виходячи з цих умов. Тоді формула (8) буде мати вигляд:
. (9) Для знаходження
використаємо другу умову,...